Cosinus
Die $h$-Methode wird beim Cosinus analog zum Sinus durchgeführt und ist Teil der Aufgaben für das Selbststudium. Eine weitere Möglichkeit bietet die Reihendarstellung, welche jedoch nicht im Unterricht behandelt wird. Hierfür muss die Reihendarstellung von Sinus und Cosinus bekannt sein:
\[\cos(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k}}{(2k)!}}\]
\[\sin(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\]
Das Problem hierbei ist natürlich, dass die Taylor-Entwicklung über die Ableitungen definiert wurde. Um diese nun sinnvoll dafür nutzen zu können, die Ableitungen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, müssen die Reihendarstellungen aus irgendeiner anderen Überlegung gewonnen worden sein – wie etwa der Reihenentwicklung der (komplexen) $e$-Funktion und der Identität $\cos(x) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}$.
Wenn dem so ist, können die Ableitungen wie folgt berechnet werden:
\[\frac{d}{dx}\cos(x)=\frac{d}{dx} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\right)\]
\[=\frac {d}{dx} \left( 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6\pm… \right) \]
\[=-x+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5\pm…\]
\[=-\sin(x)\]
Im folgenden Ausschnitt aus Szene 3: Erarbeitung der Funktionseigenschaften in Zweiergruppen - Teil 1 erarbeiten zwei Lernende die Ableitung des Cosinus graphisch mithilfe einer Tangente, wie sie es zuvor bereits mit dem Sinus gemacht haben.
Als die Lernenden Probleme bekommen, schreitet die Lehrerin zur Hilfe.
Weitere Informationen zu den trigonometrischen Funktionen finden Sie in (Korntreff, 2017).